微积分学示例

$\int (x + 4) \sqrt{3 - x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x + 4$ ， $d v = \sqrt{3 - x}$ 。

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{2}{3}$ 移到积分外。

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 3

使 $u = 3 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 3 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $3 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 - x]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 3.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$(x + 4) (- \frac{2}{3} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$(x + 4) (- \frac{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

解题步骤 6.1.2

将 $2$ 移到 ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$(x + 4) (- \frac{2 \cdot {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

解题步骤 6.1.3

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)))$

解题步骤 6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (1 (\frac{2}{3}) (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

解题步骤 6.1.5

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

解题步骤 6.2

将 $(x + 4) (- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ 重写为 $- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ 。

$- x \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

组合 $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $x$ 。

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{- 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 6.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 6.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 6.3.4

将 $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 6.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 6.3.6

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 7

使用 $3 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 {(3 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{1}{3} (- 2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 8 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{15} {(3 - x)}^{\frac{5}{2}} + C$

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