微积分学示例

$\int (x - 1) \sin (π x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x - 1$ ， $d v = \sin (π x)$ 。

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) d x$

解题步骤 2

由于 $- \frac{1}{π}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{π}$ 移到积分外。

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\cos (π x)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + 1 (\frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x$

解题步骤 4

使 $u = π x$ 。然后使 $d u = π d x$ ，以便 $\frac{1}{π} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = π x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $π x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$π \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

解题步骤 5

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 7

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $\frac{1}{π}$ 。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π π} \int \cos (u) d u$

解题步骤 7.2

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π} \int \cos (u) d u$

解题步骤 7.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \cos (u) d u$

解题步骤 7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \cos (u) d u$

解题步骤 7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} \int \cos (u) d u$

解题步骤 8

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$

解题步骤 9

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解题步骤 9.1

将 $(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$ 重写为 $- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$ 。

$- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{\cos (π x)}{π}$ 和 $x$ 。

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

解题步骤 10

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

解题步骤 11

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解题步骤 11.1

将 $\frac{\cos (π x) x}{π}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x \cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

解题步骤 11.2

重新排序项。

$- \frac{1}{π} x \cos (π x) + \frac{1}{π} \cos (π x) + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

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