微积分学示例

$\int (x + 14) \sqrt{28 x + x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 28 x + x^{2}$ 。然后使 $d u = (2 x + 28) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = (x + 14) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 28 x + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $28 x + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [28 x + x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $28 x + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [28 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28 x$ 对 $x$ 的导数是 $28 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $28$ 乘以 $1$ 。

$28 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$28 + 2 x$

解题步骤 1.1.4.2

重新排序项。

$2 x + 28$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7

使用 $28 x + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(28 x + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

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