微积分学示例

$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} d x$

解题步骤 1

使 $u = e^{x} + 1$ 。然后使 $d u = e^{x} d x$ ，以便 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = e^{x} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $e^{x} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 4

使用 $e^{x} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

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