微积分学示例

$\int {(\csc (x) - \tan (x))}^{2} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(\csc (x) - \tan (x))}^{2}$ 重写为 $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ 。

$\int (\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\int \csc (x) (\csc (x) - \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $\csc (x) \csc (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $\csc (x)$ 和 $- \tan (x)$ 重新排序。

$\int \csc^{2} (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.2.2

添加圆括号。

$\int \csc^{2} (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.2.3

将 $\csc (x) (- \tan (x))$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \csc^{2} (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.2.4

约去公因数。

$\int \csc^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.4

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.3.1.4.1

添加圆括号。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.4.2

将 $- \tan (x) \csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.4.3

约去公因数。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

解题步骤 1.3.1.6

乘以 $- \tan (x) (- \tan (x))$ 。

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解题步骤 1.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + 1 \tan (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3.1.6.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3.1.6.3

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3.1.6.4

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

解题步骤 1.3.1.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.3.1.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 1.3.2

从 $- \sec (x)$ 中减去 $\sec (x)$ 。

$\int \csc^{2} (x) - 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \csc^{2} (x) d x + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 3

因为 $- \cot (x)$ 的导数为 $\csc^{2} (x)$ ，所以 $\csc^{2} (x)$ 的积分为 $- \cot (x)$ 。

$- \cot (x) + C + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- \cot (x) + C - 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 9

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

解题步骤 10

化简。

$- \cot (x) - 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$

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