微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

解题步骤 1.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

解题步骤 1.3.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.3.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

解题步骤 1.3.4

化简答案。

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解题步骤 1.3.4.1

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

解题步骤 3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 3.5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \sec^{2} (x)}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

解题步骤 5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 9

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 10

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 10.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (0)}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{1 + \sec^{2} (0)}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{1 + 1^{2}}$

解题步骤 11.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1 + 1}$

解题步骤 11.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2}$

微积分学 示例

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