微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

解题步骤 1.2.1.2

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

解题步骤 1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 1.3.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\tan (0)}$

解题步骤 1.3.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.6

将 $7$ 移到 $\cos (7 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.7

将 $7$ 乘以 $\cos (7 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

解题步骤 3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 3.8.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 3.8.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 3.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)}$

解题步骤 3.11

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

解题步骤 3.12

将 $3$ 移到 $\sec^{2} (3 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \cdot \sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 3.13

将 $3$ 乘以 $\sec^{2} (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{7}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 7

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (3 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

解题步骤 9

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 11

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 11.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

合并。

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

解题步骤 12.2

从 $\sec^{2} (3 \cdot 0)$ 中分解出因数 $\sec (3 \cdot 0)$ 。

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 (\sec (3 \cdot 0) \sec (3 \cdot 0))}$

解题步骤 12.3

分离分数。

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec (3 \cdot 0)}$

解题步骤 12.4

将 $\sec (3 \cdot 0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}}$

解题步骤 12.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ 。

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

解题步骤 12.6

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

解题步骤 12.7

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (3 \cdot 0))$

解题步骤 12.8

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

解题步骤 12.9

分离分数。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

解题步骤 12.10

将 $\sec (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

解题步骤 12.11

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (0)}$ 。

$\frac{7}{3} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

解题步骤 12.12

将 $\cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{3} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

解题步骤 12.13

通过指数相加将 $\cos (0)$ 乘以 $\cos (0)$ 。

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解题步骤 12.13.1

移动 $\cos (0)$ 。

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

解题步骤 12.13.2

将 $\cos (0)$ 乘以 $\cos (0)$ 。

$\frac{7}{3} \cos^{2} (0) \cos (0)$

解题步骤 12.14

通过指数相加将 $\cos^{2} (0)$ 乘以 $\cos (0)$ 。

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解题步骤 12.14.1

移动 $\cos (0)$ 。

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

解题步骤 12.14.2

将 $\cos (0)$ 乘以 $\cos^{2} (0)$ 。

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解题步骤 12.14.2.1

对 $\cos (0)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7}{3} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

解题步骤 12.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7}{3} {\cos (0)}^{1 + 2}$

解题步骤 12.14.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{7}{3} \cos^{3} (0)$

解题步骤 12.15

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{7}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.16

一的任意次幂都为一。

$\frac{7}{3} \cdot 1$

解题步骤 12.17

将 $\frac{7}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{3}$

微积分学 示例

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