微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{8} k (6 k + 7)$

解题步骤 1

化简总和。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

运用分配律。

$k (6 k) + k \cdot 7$

解题步骤 1.2

使用乘法的交换性质重写。

$6 k \cdot k + k \cdot 7$

解题步骤 1.3

将 $7$ 移到 $k$ 的左侧。

$6 k \cdot k + 7 \cdot k$

解题步骤 1.4

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

移动 $k$ 。

$6 (k \cdot k) + 7 \cdot k$

解题步骤 1.4.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$6 k^{2} + 7 \cdot k$

$6 k^{2} + 7 k$

解题步骤 1.5

重写该总和。

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k = 6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 7 \sum_{k = 1}^{8} k$

解题步骤 3

计算 $6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(6) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

解题步骤 3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.1

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$6 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

解题步骤 3.3.2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

将 $72$ 乘以 $17$ 。

$6 (\frac{1224}{6})$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

约去公因数。

$6 (\frac{1224}{6})$

解题步骤 3.3.2.2.2

重写表达式。

$1224$

$1224$

$1224$

$1224$

$1224$

解题步骤 4

计算 $7 \sum_{k = 1}^{8} k$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(7) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

解题步骤 4.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$7 \frac{8 \cdot 9}{2}$

解题步骤 4.3.2

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$7 (\frac{72}{2})$

解题步骤 4.3.3

用 $72$ 除以 $2$ 。

$7 \cdot 36$

解题步骤 4.3.4

将 $7$ 乘以 $36$ 。

$252$

$252$

$252$

解题步骤 5

将求和的总和相加。

$1224 + 252$

解题步骤 6

将 $1224$ 和 $252$ 相加。

$1476$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$