微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

解题步骤 1.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

解题步骤 1.3

将 $- 2$ 移到 $k$ 的左侧。

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

解题步骤 1.4

使用 FOIL 方法展开 $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ 。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

解题步骤 1.4.3

运用分配律。

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

解题步骤 1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

通过指数相加将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

解题步骤 1.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

解题步骤 1.5.1.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

解题步骤 1.5.1.2

将 $2$ 移到 $k^{2}$ 的左侧。

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

解题步骤 1.5.1.3

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 1.5.1.3.1

移动 $k$ 。

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

解题步骤 1.5.1.3.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

解题步骤 1.5.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

解题步骤 1.5.2

从 $2 k^{2}$ 中减去 $2 k^{2}$ 。

$k^{3} + 0 - 4 k$

解题步骤 1.5.3

将 $k^{3}$ 和 $0$ 相加。

$k^{3} - 4 k$

解题步骤 1.6

重写该总和。

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

度数为 $3$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

解题步骤 3.2

将值代入公式中。

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $30$ 和 $1$ 相加。

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.2

对 $30$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.3

对 $31$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

解题步骤 3.3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $900$ 乘以 $961$ 。

$\frac{864900}{4}$

解题步骤 3.3.2.2

用 $864900$ 除以 $4$ 。

$216225$

解题步骤 4

计算 $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ 。

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解题步骤 4.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $30$ 和 $1$ 相加。

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $30$ 乘以 $31$ 。

$- 4 (\frac{930}{2})$

解题步骤 4.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- 2 \cdot 930$

解题步骤 4.3.3

将 $- 2$ 乘以 $930$ 。

$- 1860$

解题步骤 5

将求和的总和相加。

$216225 - 1860$

解题步骤 6

从 $216225$ 中减去 $1860$ 。

$214365$

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