微积分学示例

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ 和 ${(\frac{1}{2})}^{k}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ 中分解出因数 ${(\frac{1}{2})}^{k}$ 。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 $\frac{1}{2}$ 除以 $1$ 。

$r = \frac{1}{2}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ 以替换 $k$ 。

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

解题步骤 3.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

解题步骤 3.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.4

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

约去公因数。

$a = 4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.4.2

重写表达式。

$a = 4 \cdot 1$

解题步骤 3.2.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$a = 4$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

解题步骤 5.1.2

合并。

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.3.2

从 $2^{11}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.3.3

约去公因数。

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.3.4

重写表达式。

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.4

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.5

对 $2$ 进行 $10$ 次方运算。

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.7

将负号移到分数的前面。

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.8

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1024}{1024}$ 。

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.9

组合 $2$ 和 $\frac{1024}{1024}$ 。

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.10

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.11

化简分子。

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解题步骤 5.4.11.1

将 $2$ 乘以 $1024$ 。

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.4.11.2

从 $2048$ 中减去 $1$ 。

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

解题步骤 5.5

化简分母。

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解题步骤 5.5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

解题步骤 5.5.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

解题步骤 5.6

用 $\frac{2047}{1024}$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{2047}{1024})$

解题步骤 5.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $1024$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

解题步骤 5.7.2

约去公因数。

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

解题步骤 5.7.3

重写表达式。

$\frac{2047}{256}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2047}{256}$

小数形式：

$7.99609375$

带分数形式：

$7 \frac{255}{256}$

微积分学 示例

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