微积分学示例

$\sum_{n = 3}^{8} 5 n$

解题步骤 1

分解总和使 $n$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{n = 3}^{8} 5 n = \sum_{n = 1}^{8} 5 n - \sum_{n = 1}^{2} 5 n$

解题步骤 2

计算 $\sum_{n = 1}^{8} 5 n$ 。

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解题步骤 2.1

从总和中因式分解出 $5$ 。

$(5) \sum_{n = 1}^{8} n$

解题步骤 2.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(5) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{8 \cdot 9}{2}$

解题步骤 2.4.2

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$5 (\frac{72}{2})$

解题步骤 2.4.3

用 $72$ 除以 $2$ 。

$5 \cdot 36$

解题步骤 2.4.4

将 $5$ 乘以 $36$ 。

$180$

$180$

$180$

解题步骤 3

计算 $\sum_{n = 1}^{2} 5 n$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $n$ 每个取值的序列。

$5 \cdot 1 + 5 \cdot 2$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + 5 \cdot 2$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$5 + 10$

解题步骤 3.2.3

将 $5$ 和 $10$ 相加。

$15$

$15$

$15$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$180 - 15$

解题步骤 5

从 $180$ 中减去 $15$ 。

$165$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$