微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(i - 1)}^{2}$ 重写为 $(i - 1) (i - 1)$ 。

$i ((i - 1) (i - 1))$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(i - 1) (i - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $i$ 乘以 $i$ 。

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $i$ 的左侧。

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$i (i^{2} - i - i + 1)$

解题步骤 1.3.2

从 $- i$ 中减去 $i$ 。

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

通过指数相加将 $i$ 乘以 $i^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $i$ 乘以 $i^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

解题步骤 1.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

解题步骤 1.5.3

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

解题步骤 1.6

通过指数相加将 $i$ 乘以 $i$ 。

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解题步骤 1.6.1

移动 $i$ 。

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

解题步骤 1.6.2

将 $i$ 乘以 $i$ 。

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

解题步骤 1.7

重写该总和。

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

解题步骤 3

计算 $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

度数为 $3$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

解题步骤 3.2

将值代入公式中。

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $22$ 和 $1$ 相加。

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.2

对 $22$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.1.3

对 $23$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

解题步骤 3.3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $484$ 乘以 $529$ 。

$\frac{256036}{4}$

解题步骤 3.3.2.2

用 $256036$ 除以 $4$ 。

$64009$

解题步骤 4

计算 $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $22$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

解题步骤 4.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 4.3.1.2.1

将 $22$ 乘以 $23$ 。

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $22$ 。

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $44$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

解题步骤 4.3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $506$ 乘以 $45$ 。

$- 2 (\frac{22770}{6})$

解题步骤 4.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

解题步骤 4.3.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.3.2.2.4

重写表达式。

$- 1 (\frac{22770}{3})$

解题步骤 4.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.3.1

用 $22770$ 除以 $3$ 。

$- 1 \cdot 7590$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $7590$ 。

$- 7590$

解题步骤 5

计算 $\sum_{i = 1}^{22} i$ 。

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解题步骤 5.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 5.2

将值代入公式中。

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

约去 $22$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $22 (22 + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

解题步骤 5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

解题步骤 5.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

解题步骤 5.3.1.2.4

用 $11 (22 + 1)$ 除以 $1$ 。

$11 (22 + 1)$

解题步骤 5.3.2

化简表达式。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $22$ 和 $1$ 相加。

$11 \cdot 23$

解题步骤 5.3.2.2

将 $11$ 乘以 $23$ 。

$253$

解题步骤 6

将求和的总和相加。

$64009 - 7590 + 253$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

从 $64009$ 中减去 $7590$ 。

$56419 + 253$

解题步骤 7.2

将 $56419$ 和 $253$ 相加。

$56672$

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