微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k$

解题步骤 1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{8} - 4 k^{2} + 6 k = - 4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 6 \sum_{k = 1}^{8} k$

解题步骤 2

计算 $4 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$- 4 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$- 4 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$- 4 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

$- 4 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$- 4 \frac{72 \cdot 17}{6}$

$- 4 \frac{72 \cdot 17}{6}$

解题步骤 2.3.2

化简项。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $72$ 乘以 $17$ 。

$- 4 (\frac{1224}{6})$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 2) \frac{1224}{6}$

解题步骤 2.3.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot - 2 \frac{1224}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2.2.4

重写表达式。

$- 2 (\frac{1224}{3})$

$- 2 (\frac{1224}{3})$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1224}{3}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 1224}{3}$

解题步骤 2.3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.4.1

将 $- 2$ 乘以 $1224$ 。

$\frac{- 2448}{3}$

解题步骤 2.3.2.4.2

用 $- 2448$ 除以 $3$ 。

$- 816$

$- 816$

$- 816$

$- 816$

$- 816$

解题步骤 3

计算 $6 \sum_{k = 1}^{8} k$ 。

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解题步骤 3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(6) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{8 \cdot 9}{2}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$6 (\frac{72}{2})$

$6 (\frac{72}{2})$

解题步骤 3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (3) \frac{72}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 3 \frac{72}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

重写表达式。

$3 \cdot 72$

$3 \cdot 72$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $72$ 。

$216$

$216$

$216$

解题步骤 4

将求和的总和相加。

$- 816 + 216$

解题步骤 5

将 $- 816$ 和 $216$ 相加。

$- 600$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$