微积分学示例

30 \sum j = 2 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

解题步骤 1

分解总和使

$j$ 的初始值等于

$1$ 。

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

解题步骤 2

计算

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

解题步骤 2.2

计算

$6 \sum_{j = 1}^{30} j$ 。

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解题步骤 2.2.1

度数为

$1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将

$30$ 和

$1$ 相加。

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

解题步骤 2.2.3.1.2

将

$30$ 乘以

$31$ 。

$6 (\frac{930}{2})$

解题步骤 2.2.3.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

从

$6$ 中分解出因数

$2$ 。

$2 (3) \frac{930}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.3

重写表达式。

$3 \cdot 930$

解题步骤 2.2.3.3

将

$3$ 乘以

$930$ 。

$2790$

解题步骤 2.3

计算

$\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.1

从总和中因式分解出

$- \frac{4}{3}$ 。

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

解题步骤 2.3.2

度数为

$2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.4.1.1

将

$30$ 和

$1$ 相加。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.4.1.2

合并指数。

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解题步骤 2.3.4.1.2.1

将

$30$ 乘以

$31$ 。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.4.1.2.2

将

$2$ 乘以

$30$ 。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

解题步骤 2.3.4.1.3

将

$60$ 和

$1$ 相加。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

解题步骤 2.3.4.2

化简项。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将

$930$ 乘以

$61$ 。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

解题步骤 2.3.4.2.2

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.2.1

将

$- \frac{4}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

解题步骤 2.3.4.2.2.2

从

$- 4$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

解题步骤 2.3.4.2.2.3

从

$6$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.4.2.2.4

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.4.2.2.5

重写表达式。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

解题步骤 2.3.4.2.3

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.3.1

从

$56730$ 中分解出因数

$3$ 。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

解题步骤 2.3.4.2.3.2

约去公因数。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

解题步骤 2.3.4.2.3.3

重写表达式。

$- 2 (\frac{18910}{3})$

解题步骤 2.3.4.2.4

组合

$- 2$ 和

$\frac{18910}{3}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

解题步骤 2.3.4.2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.2.5.1

将

$- 2$ 乘以

$18910$ 。

$\frac{- 37820}{3}$

解题步骤 2.3.4.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{37820}{3}$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$2790 - \frac{37820}{3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

要将

$2790$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

解题步骤 2.5.2

组合

$2790$ 和

$\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

解题步骤 2.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

将

$2790$ 乘以

$3$ 。

$\frac{8370 - 37820}{3}$

解题步骤 2.5.4.2

从

$8370$ 中减去

$37820$ 。

$\frac{- 29450}{3}$

解题步骤 2.5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{29450}{3}$

解题步骤 3

计算

$\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 3.1

展开

$j$ 每个取值的序列。

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

解题步骤 3.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

解题步骤 3.2.1.3

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$6 - \frac{4}{3}$

解题步骤 3.2.2

要将

$6$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 3.2.3

组合

$6$ 和

$\frac{3}{3}$ 。

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

解题步骤 3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

解题步骤 3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.2.5.1

将

$6$ 乘以

$3$ 。

$\frac{18 - 4}{3}$

解题步骤 3.2.5.2

从

$18$ 中减去

$4$ 。

$\frac{14}{3}$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

解题步骤 5.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

从

$- 29450$ 中减去

$14$ 。

$\frac{- 29464}{3}$

解题步骤 5.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{29464}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{29464}{3}$

小数形式：

$- 9821.\overline{3}$

带分数形式：

$- 9821 \frac{1}{3}$

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