微积分学示例

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{5}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{3}$ 。

$2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.7

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$2 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.8

组合 $2$ 和 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.9

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.3.7

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 1.3.9

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.10

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{10}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{10}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{10}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{10}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{10}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.9

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{10 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.10

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{20 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.11

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20 x^{- \frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.2.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- \frac{20}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 2.3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 2.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 2.3.9

将 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 乘以 $\frac{20}{3}$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 20}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 20}{9}$

解题步骤 2.3.11

将 $20$ 移到 $x^{- \frac{2}{3}}$ 的左侧。

$\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

解题步骤 2.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{20}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{20}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$\frac{20}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{20}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{20}{9} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{20}{9} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{20}{9} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{20}{9} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{20}{9} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{20}{9} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{20}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{20}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.9

化简分子。

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解题步骤 3.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{20}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{20}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{20}{9} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.12

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{20}{9} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.2.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{20}{9} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.13.2

在公分母上合并分子。

$\frac{20}{9} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.13.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{20}{9} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.13.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{20}{9} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{20}{9} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.15

将 $\frac{20}{9}$ 乘以 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$- \frac{20}{9 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.2.16

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- \frac{20}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{20}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{20}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.5

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 3.3.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 3.3.9

化简分子。

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解题步骤 3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

解题步骤 3.3.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

解题步骤 3.3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

解题步骤 3.3.11

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.12

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 3.3.13.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

解题步骤 3.3.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.13.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.13.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.13.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

解题步骤 3.3.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} + 1 (\frac{20}{9}) \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.3.16

将 $\frac{20}{9}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{20}{9} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.3.17

将 $\frac{20}{9}$ 乘以 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{20 \cdot 2}{9 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 3.3.18

将 $20$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{9 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 3.3.19

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{27 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$f''' (x) = \frac{40}{27 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\frac{40}{27 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{5}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{5}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{40}{27 x^{\frac{5}{3}}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{40}{27}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{40}{27 x^{\frac{5}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{40}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ 。

$\frac{40}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{40}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{5}{3}}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{40}{27} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{40}{27} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $x^{\frac{5}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{40}{27} (- {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{3}$ 。

$\frac{40}{27} (- {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 2} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.5

将 ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{40}{27} (- x^{\frac{5}{3} \cdot - 2} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.5.2

乘以 $\frac{5}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 4.2.5.2.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{40}{27} (- x^{\frac{5 \cdot - 2}{3}} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.5.2.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{40}{27} (- x^{\frac{- 10}{3}} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{40}{27} (- x^{- \frac{10}{3}} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{40}{27} (- x^{- \frac{10}{3}} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{40}{27} (- x^{- \frac{10}{3}} (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{40}{27} (- x^{- \frac{10}{3}} (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.9

化简分子。

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解题步骤 4.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{40}{27} (- x^{- \frac{10}{3}} (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.9.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{40}{27} (- x^{- \frac{10}{3}} (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.10

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{40}{27} (- x^{- \frac{10}{3}} \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.11

组合 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{10}{3}}$ 。

$\frac{40}{27} (- \frac{5 x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{10}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.12

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{10}{3}}$ 。

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解题步骤 4.2.12.1

移动 $x^{- \frac{10}{3}}$ 。

$\frac{40}{27} (- \frac{5 (x^{- \frac{10}{3}} x^{\frac{2}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{40}{27} (- \frac{5 x^{- \frac{10}{3} + \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.12.3

在公分母上合并分子。

$\frac{40}{27} (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.12.4

将 $- 10$ 和 $2$ 相加。

$\frac{40}{27} (- \frac{5 x^{\frac{- 8}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.12.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{40}{27} (- \frac{5 x^{- \frac{8}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{8}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{40}{27} (- \frac{5}{3 x^{\frac{8}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.14

将 $\frac{40}{27}$ 乘以 $\frac{5}{3 x^{\frac{8}{3}}}$ 。

$- \frac{40 \cdot 5}{27 (3 x^{\frac{8}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.15

将 $40$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{200}{27 (3 x^{\frac{8}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.2.16

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- \frac{20}{27}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{20}{27 x^{\frac{4}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{20}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $x^{\frac{4}{3}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- {(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

解题步骤 4.3.5

将 ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{\frac{4}{3} \cdot - 2} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2

乘以 $\frac{4}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 4.3.5.2.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $- 2$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{\frac{4 \cdot - 2}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{\frac{- 8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}))$

解题步骤 4.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 4.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 4.3.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 4.3.9

化简分子。

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解题步骤 4.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}))$

解题步骤 4.3.9.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 4.3.10

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- x^{- \frac{8}{3}} \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 4.3.11

组合 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{8}{3}}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- \frac{4 x^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{3})$

解题步骤 4.3.12

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{8}{3}}$ 。

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解题步骤 4.3.12.1

移动 $x^{- \frac{8}{3}}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- \frac{4 (x^{- \frac{8}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{3})$

解题步骤 4.3.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- \frac{4 x^{- \frac{8}{3} + \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 4.3.12.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- \frac{4 x^{\frac{- 8 + 1}{3}}}{3})$

解题步骤 4.3.12.4

将 $- 8$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- \frac{4 x^{\frac{- 7}{3}}}{3})$

解题步骤 4.3.12.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- \frac{4 x^{- \frac{7}{3}}}{3})$

解题步骤 4.3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{7}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} - \frac{20}{27} (- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}})$

解题步骤 4.3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} + 1 (\frac{20}{27}) \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

解题步骤 4.3.15

将 $\frac{20}{27}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} + \frac{20}{27} \cdot \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

解题步骤 4.3.16

将 $\frac{20}{27}$ 乘以 $\frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} + \frac{20 \cdot 4}{27 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

解题步骤 4.3.17

将 $20$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} + \frac{80}{27 (3 x^{\frac{7}{3}})}$

解题步骤 4.3.18

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$- \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}} + \frac{80}{81 x^{\frac{7}{3}}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$f^{4} (x) = \frac{80}{81 x^{\frac{7}{3}}} - \frac{200}{81 x^{\frac{8}{3}}}$

微积分学 示例

微积分学示例