微积分学示例

$\sqrt{r} + \sqrt[6]{r}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sqrt{r} + \sqrt[6]{r}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$ 。

$\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{r}$ 重写成 $r^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d r} [\sqrt[6]{r}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[6]{r}$ 重写成 $r^{\frac{1}{6}}$ 。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{6}}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1}{6} - 1}$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}}$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{1 - 6}{6}}$

解题步骤 1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{\frac{- 5}{6}}$

解题步骤 1.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{6} r^{- \frac{5}{6}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6} r^{- \frac{5}{6}}$

解题步骤 1.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}$

解题步骤 1.4.3

合并项。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}$

解题步骤 1.4.3.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}$ 。

$f' (r) = \frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d r} [\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{- 1}$ 且 $g (r) = r^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $r^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $r^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- {(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.5

将 ${(r^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (- r^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (- r^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.9

化简分子。

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解题步骤 2.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} (\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $r^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (- r^{- 1} \frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.12

组合 $\frac{r^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $r^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{1}{2}} r^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.13

通过指数相加将 $r^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $r^{- 1}$ 。

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解题步骤 2.2.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.13.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.13.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.13.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.13.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.13.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.13.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.13.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- \frac{r^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $r^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 r^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{2 (2 r^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.2.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d r} [\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{1}{6}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{1}{6 r^{\frac{5}{6}}}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{1}{6} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}]$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{r^{\frac{5}{6}}}$ 重写为 ${(r^{\frac{5}{6}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{5}{6}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{- 1}$ 且 $g (r) = r^{\frac{5}{6}}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $r^{\frac{5}{6}}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{6}}])$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{6}}])$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $r^{\frac{5}{6}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- {(r^{\frac{5}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{6}}])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{6}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- {(r^{\frac{5}{6}})}^{- 2} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.5

将 ${(r^{\frac{5}{6}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{6} \cdot - 2} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2.3

约去公因数。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.2.4

重写表达式。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5}{3} \cdot - 1} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.3

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.4

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{\frac{- 5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1}))$

解题步骤 2.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}))$

解题步骤 2.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}))$

解题步骤 2.3.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}))$

解题步骤 2.3.9

化简分子。

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解题步骤 2.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{5 - 6}{6}}))$

解题步骤 2.3.9.2

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{\frac{- 1}{6}}))$

解题步骤 2.3.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} (\frac{5}{6} r^{- \frac{1}{6}}))$

解题步骤 2.3.11

组合 $\frac{5}{6}$ 和 $r^{- \frac{1}{6}}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- r^{- \frac{5}{3}} \frac{5 r^{- \frac{1}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.12

组合 $\frac{5 r^{- \frac{1}{6}}}{6}$ 和 $r^{- \frac{5}{3}}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{1}{6}} r^{- \frac{5}{3}}}{6})$

解题步骤 2.3.13

通过指数相加将 $r^{- \frac{1}{6}}$ 乘以 $r^{- \frac{5}{3}}$ 。

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解题步骤 2.3.13.1

移动 $r^{- \frac{5}{3}}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 (r^{- \frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{6}})}{6})$

解题步骤 2.3.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{5}{3} - \frac{1}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.13.3

要将 $- \frac{5}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.13.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 2.3.13.4.1

将 $\frac{5}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.13.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{5 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.13.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2 - 1}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.13.6

化简分子。

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解题步骤 2.3.13.6.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{\frac{- 10 - 1}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.13.6.2

从 $- 10$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{\frac{- 11}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.13.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5 r^{- \frac{11}{6}}}{6})$

解题步骤 2.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $r^{- \frac{11}{6}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{6} (- \frac{5}{6 r^{\frac{11}{6}}})$

解题步骤 2.3.15

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{5}{6 r^{\frac{11}{6}}}$ 。

$- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{5}{6 (6 r^{\frac{11}{6}})}$

解题步骤 2.3.16

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$f'' (r) = - \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}} - \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$ 。

$\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d r} [- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- \frac{1}{4 r^{\frac{3}{2}}}$ 对 $r$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{r^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{- 1}$ 且 $g (r) = r^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $r^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{1}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $r^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{4} (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- {(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.5

将 ${(r^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{4} (- r^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{4} (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{4} (- r^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{4} (- r^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.9

化简分子。

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解题步骤 3.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.9.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} (\frac{3}{2} r^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.10

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $r^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{4} (- r^{- 3} \frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.11

组合 $\frac{3 r^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $r^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{1}{2}} r^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.12

通过指数相加将 $r^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $r^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.2.12.1

移动 $r^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 (r^{- 3} r^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.12.3

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.12.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.12.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.12.6

化简分子。

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解题步骤 3.2.12.6.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.12.6.2

将 $- 6$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.12.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 r^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $r^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{4}) \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.15

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.16

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{3}{2 r^{\frac{5}{2}}}$ 。

$\frac{3}{4 (2 r^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.2.17

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d r} [- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- \frac{5}{36}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $- \frac{5}{36 r^{\frac{11}{6}}}$ 对 $r$ 的导数是 $- \frac{5}{36} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{11}{6}}}]$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{11}{6}}}]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{r^{\frac{11}{6}}}$ 重写为 ${(r^{\frac{11}{6}})}^{- 1}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{11}{6}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{- 1}$ 且 $g (r) = r^{\frac{11}{6}}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $r^{\frac{11}{6}}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{11}{6}}])$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{11}{6}}])$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $r^{\frac{11}{6}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- {(r^{\frac{11}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{11}{6}}])$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{11}{6}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- {(r^{\frac{11}{6}})}^{- 2} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.5

将 ${(r^{\frac{11}{6}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{6} \cdot - 2} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.2.3

约去公因数。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.2.4

重写表达式。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11}{3} \cdot - 1} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.3

组合 $\frac{11}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{11 \cdot - 1}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.4

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{\frac{- 11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1}))$

解题步骤 3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}))$

解题步骤 3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}))$

解题步骤 3.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11 - 1 \cdot 6}{6}}))$

解题步骤 3.3.9

化简分子。

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解题步骤 3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{11 - 6}{6}}))$

解题步骤 3.3.9.2

从 $11$ 中减去 $6$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} (\frac{11}{6} r^{\frac{5}{6}}))$

解题步骤 3.3.10

组合 $\frac{11}{6}$ 和 $r^{\frac{5}{6}}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- r^{- \frac{11}{3}} \frac{11 r^{\frac{5}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.11

组合 $\frac{11 r^{\frac{5}{6}}}{6}$ 和 $r^{- \frac{11}{3}}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{\frac{5}{6}} r^{- \frac{11}{3}}}{6})$

解题步骤 3.3.12

通过指数相加将 $r^{\frac{5}{6}}$ 乘以 $r^{- \frac{11}{3}}$ 。

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解题步骤 3.3.12.1

移动 $r^{- \frac{11}{3}}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 (r^{- \frac{11}{3}} r^{\frac{5}{6}})}{6})$

解题步骤 3.3.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{11}{3} + \frac{5}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.12.3

要将 $- \frac{11}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{11}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.12.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.3.12.4.1

将 $\frac{11}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.12.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{11 \cdot 2}{6} + \frac{5}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.12.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{\frac{- 11 \cdot 2 + 5}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.12.6

化简分子。

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解题步骤 3.3.12.6.1

将 $- 11$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{\frac{- 22 + 5}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.12.6.2

将 $- 22$ 和 $5$ 相加。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{\frac{- 17}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.12.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11 r^{- \frac{17}{6}}}{6})$

解题步骤 3.3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $r^{- \frac{17}{6}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} - \frac{5}{36} (- \frac{11}{6 r^{\frac{17}{6}}})$

解题步骤 3.3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + 1 (\frac{5}{36}) \frac{11}{6 r^{\frac{17}{6}}}$

解题步骤 3.3.15

将 $\frac{5}{36}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{5}{36} \cdot \frac{11}{6 r^{\frac{17}{6}}}$

解题步骤 3.3.16

将 $\frac{5}{36}$ 乘以 $\frac{11}{6 r^{\frac{17}{6}}}$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{5 \cdot 11}{36 (6 r^{\frac{17}{6}})}$

解题步骤 3.3.17

将 $5$ 乘以 $11$ 。

$\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{55}{36 (6 r^{\frac{17}{6}})}$

解题步骤 3.3.18

将 $6$ 乘以 $36$ 。

$f''' (r) = \frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}} + \frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d r} [\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{3}{8}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{3}{8 r^{\frac{5}{2}}}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}] + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{r^{\frac{5}{2}}}$ 重写为 ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{3}{8} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{5}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{- 1}$ 且 $g (r) = r^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $r^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{3}{8} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{3}{8} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $r^{\frac{5}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{3}{8} (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{5}{2}}]) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{3}{8} (- {(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.5

将 ${(r^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{8} (- r^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{8} (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{8} (- r^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{8} (- r^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.5.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.9

化简分子。

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解题步骤 4.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{5 - 2}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.9.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} (\frac{5}{2} r^{\frac{3}{2}})) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.10

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $r^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{3}{8} (- r^{- 5} \frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.11

组合 $\frac{5 r^{\frac{3}{2}}}{2}$ 和 $r^{- 5}$ 。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{3}{2}} r^{- 5}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.12

通过指数相加将 $r^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $r^{- 5}$ 。

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解题步骤 4.2.12.1

移动 $r^{- 5}$ 。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 (r^{- 5} r^{\frac{3}{2}})}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.12.3

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.12.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.12.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.12.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.12.6.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.12.6.2

将 $- 10$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{\frac{- 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.12.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 r^{- \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $r^{- \frac{7}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}) + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.14

将 $\frac{3}{8}$ 乘以 $\frac{5}{2 r^{\frac{7}{2}}}$ 。

$- \frac{3 \cdot 5}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.15

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{15}{8 (2 r^{\frac{7}{2}})} + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.2.16

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d r} [\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $\frac{55}{216}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{55}{216 r^{\frac{17}{6}}}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{55}{216} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{17}{6}}}]$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{\frac{17}{6}}}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{r^{\frac{17}{6}}}$ 重写为 ${(r^{\frac{17}{6}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} \frac{d}{d r} [{(r^{\frac{17}{6}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ 等于 $f' (g (r)) g' (r)$ ，其中 $f (r) = r^{- 1}$ 且 $g (r) = r^{\frac{17}{6}}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $r^{\frac{17}{6}}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d r} [r^{\frac{17}{6}}])$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{17}{6}}])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $r^{\frac{17}{6}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- {(r^{\frac{17}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d r} [r^{\frac{17}{6}}])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{17}{6}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- {(r^{\frac{17}{6}})}^{- 2} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.5

将 ${(r^{\frac{17}{6}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{6} \cdot - 2} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2.3

约去公因数。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.2.4

重写表达式。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17}{3} \cdot - 1} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.3

组合 $\frac{17}{3}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{17 \cdot - 1}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.4

将 $17$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{\frac{- 17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1}))$

解题步骤 4.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}))$

解题步骤 4.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}))$

解题步骤 4.3.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17 - 1 \cdot 6}{6}}))$

解题步骤 4.3.9

化简分子。

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解题步骤 4.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{17 - 6}{6}}))$

解题步骤 4.3.9.2

从 $17$ 中减去 $6$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} (\frac{17}{6} r^{\frac{11}{6}}))$

解题步骤 4.3.10

组合 $\frac{17}{6}$ 和 $r^{\frac{11}{6}}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- r^{- \frac{17}{3}} \frac{17 r^{\frac{11}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.11

组合 $\frac{17 r^{\frac{11}{6}}}{6}$ 和 $r^{- \frac{17}{3}}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{\frac{11}{6}} r^{- \frac{17}{3}}}{6})$

解题步骤 4.3.12

通过指数相加将 $r^{\frac{11}{6}}$ 乘以 $r^{- \frac{17}{3}}$ 。

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解题步骤 4.3.12.1

移动 $r^{- \frac{17}{3}}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 (r^{- \frac{17}{3}} r^{\frac{11}{6}})}{6})$

解题步骤 4.3.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{17}{3} + \frac{11}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.12.3

要将 $- \frac{17}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{17}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.12.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 4.3.12.4.1

将 $\frac{17}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{17 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{11}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.12.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{17 \cdot 2}{6} + \frac{11}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.12.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{\frac{- 17 \cdot 2 + 11}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.12.6

化简分子。

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解题步骤 4.3.12.6.1

将 $- 17$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{\frac{- 34 + 11}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.12.6.2

将 $- 34$ 和 $11$ 相加。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{\frac{- 23}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.12.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17 r^{- \frac{23}{6}}}{6})$

解题步骤 4.3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $r^{- \frac{23}{6}}$ 移动到分母。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} + \frac{55}{216} (- \frac{17}{6 r^{\frac{23}{6}}})$

解题步骤 4.3.14

将 $\frac{55}{216}$ 乘以 $\frac{17}{6 r^{\frac{23}{6}}}$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{55 \cdot 17}{216 (6 r^{\frac{23}{6}})}$

解题步骤 4.3.15

将 $55$ 乘以 $17$ 。

$- \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{935}{216 (6 r^{\frac{23}{6}})}$

解题步骤 4.3.16

将 $6$ 乘以 $216$ 。

$f^{4} (r) = - \frac{15}{16 r^{\frac{7}{2}}} - \frac{935}{1296 r^{\frac{23}{6}}}$

微积分学 示例

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