微积分学示例

$\sin^{2} (4 x + 9)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (4 x + 9)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (4 x + 9)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\sin (4 x + 9)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 9$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x + 9$ 。

$2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 1.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 1.2.3

使用 $4 x + 9$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $4 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 1.3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 1.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 1.3.5

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) (4 + 0)$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$2 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \cdot 4$

解题步骤 1.3.6.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

解题步骤 1.3.6.3

重新排序 $8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ 的因式。

$f' (x) = 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (4 x + 9)$ 且 $g (x) = \sin (4 x + 9)$ 。

$8 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 9$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x + 9$ 。

$8 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.3.3

使用 $4 x + 9$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.4

对 $\cos (4 x + 9)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.5

对 $\cos (4 x + 9)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.7

求微分。

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解题步骤 2.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.7.2

根据加法法则， $4 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.7.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.7.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.7.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.7.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.7.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$8 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.7.7.2

将 $4$ 移到 $\cos^{2} (4 x + 9)$ 的左侧。

$8 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 2.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 9$ 。

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解题步骤 2.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x + 9$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 2.8.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 2.8.3

使用 $4 x + 9$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 2.9

对 $\sin (4 x + 9)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 2.10

对 $\sin (4 x + 9)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 2.13

根据加法法则， $4 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 2.14

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 2.16

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 2.17

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

解题步骤 2.18

化简表达式。

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解题步骤 2.18.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

解题步骤 2.18.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

解题步骤 2.19

化简。

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解题步骤 2.19.1

运用分配律。

$8 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

解题步骤 2.19.2

合并项。

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解题步骤 2.19.2.1

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$32 \cos^{2} (4 x + 9) + 8 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

解题步骤 2.19.2.2

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $32 \cos^{2} (4 x + 9) - 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ 。

$\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [32 \cos^{2} (4 x + 9)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 \cos^{2} (4 x + 9)$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)]$ 。

$32 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (4 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (4 x + 9)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (4 x + 9)$ 。

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $\cos (4 x + 9)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)]) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 9$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x + 9$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $4 x + 9$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.4

根据加法法则， $4 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.7

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) (4 + 0))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.9

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.10

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$32 (2 \cos (4 x + 9) (- 4 \sin (4 x + 9))) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.11

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$32 (- 8 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.2.12

将 $- 8$ 乘以 $32$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) + \frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 32 \sin^{2} (4 x + 9)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 32 \sin^{2} (4 x + 9)$ 对 $x$ 的导数是 $- 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x + 9)]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (4 x + 9)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sin (4 x + 9)$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $\sin (4 x + 9)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)])$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 9$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $4 x + 9$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 3.3.3.2

$\sin (u_{4})$ 对 $u_{4}$ 的导数为 $\cos (u_{4})$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $4 x + 9$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 3.3.4

根据加法法则， $4 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])))$

解题步骤 3.3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])))$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])))$

解题步骤 3.3.7

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 \cdot 1 + 0)))$

解题步骤 3.3.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) (4 + 0)))$

解题步骤 3.3.9

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \cdot 4))$

解题步骤 3.3.10

将 $4$ 移到 $\cos (4 x + 9)$ 的左侧。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (2 \sin (4 x + 9) (4 \cdot \cos (4 x + 9)))$

解题步骤 3.3.11

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 32 (8 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9))$

解题步骤 3.3.12

将 $8$ 乘以 $- 32$ 。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

重新排序 $- 256 \sin (4 x + 9) \cos (4 x + 9)$ 的因式。

$- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9) - 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

解题步骤 3.4.2

从 $- 256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ 中减去 $256 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ 。

$f''' (x) = - 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- 512$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 512 \cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)$ 对 $x$ 的导数是 $- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$ 。

$- 512 \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9) \sin (4 x + 9)]$

解题步骤 4.2

$- 512 (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\sin (4 x + 9)] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 9$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x + 9$ 。

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.3.3

使用 $4 x + 9$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 512 (\cos (4 x + 9) (\cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.4

对 $\cos (4 x + 9)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.5

对 $\cos (4 x + 9)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 512 (\cos^{1} (4 x + 9) \cos^{1} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 512 ({\cos (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.7

求微分。

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解题步骤 4.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9] + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.7.2

根据加法法则， $4 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.7.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.7.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.7.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) (4 + 0) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.7.7

化简表达式。

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解题步骤 4.7.7.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- 512 (\cos^{2} (4 x + 9) \cdot 4 + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.7.7.2

将 $4$ 移到 $\cos^{2} (4 x + 9)$ 的左侧。

$- 512 (4 \cdot \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [\cos (4 x + 9)])$

解题步骤 4.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x + 9$ 。

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解题步骤 4.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x + 9$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 4.8.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 4.8.3

使用 $4 x + 9$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) + \sin (4 x + 9) (- \sin (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9]))$

解题步骤 4.9

对 $\sin (4 x + 9)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 4.10

对 $\sin (4 x + 9)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - (\sin^{1} (4 x + 9) \sin^{1} (4 x + 9)) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 4.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - {\sin (4 x + 9)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 4.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \frac{d}{d x} [4 x + 9])$

解题步骤 4.13

根据加法法则， $4 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 4.14

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 4.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 4.16

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + \frac{d}{d x} [9]))$

解题步骤 4.17

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) (4 + 0))$

解题步骤 4.18

化简表达式。

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解题步骤 4.18.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - \sin^{2} (4 x + 9) \cdot 4)$

解题步骤 4.18.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9) - 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

解题步骤 4.19

化简。

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解题步骤 4.19.1

运用分配律。

$- 512 (4 \cos^{2} (4 x + 9)) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

解题步骤 4.19.2

合并项。

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解题步骤 4.19.2.1

将 $4$ 乘以 $- 512$ 。

$- 2048 \cos^{2} (4 x + 9) - 512 (- 4 \sin^{2} (4 x + 9))$

解题步骤 4.19.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 512$ 。

$f^{4} (x) = - 2048 \cos^{2} (4 x + 9) + 2048 \sin^{2} (4 x + 9)$

微积分学 示例

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