微积分学示例

$t^{3} - 27 t$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $t^{3} - 27 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27 t]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27 t]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27 t]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [- 27 t]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 27$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 27 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 27 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 t^{2} - 27 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 t^{2} - 27 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3

将 $- 27$ 乘以 $1$ 。

$f' (t) = 3 t^{2} - 27$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 t^{2} - 27$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ 。

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 27]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 27]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 t + \frac{d}{d t} [- 27]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 27$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 27$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$6 t + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $6 t$ 和 $0$ 相加。

$f'' (t) = 6 t$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$6 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f''' (t) = 6$

解题步骤 4

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (t) = 0$

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