微积分学示例

$x^{4} {(x - 1)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

解题步骤 1.3.6

将 $4$ 移到 ${(x - 1)}^{3}$ 的左侧。

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ 中分解出因数 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

解题步骤 1.4.1.2

从 $4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.1.3

从 $x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ 中分解出因数 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.3

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

运用分配律。

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.4.2

运用分配律。

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.4.3

运用分配律。

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.5.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.5.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.5.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.5.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.6

运用分配律。

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.7

化简。

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解题步骤 1.4.7.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.7.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.7.1.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.7.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.8

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.8.1

移动 $x$ 。

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.8.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

解题步骤 1.4.9

化简每一项。

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解题步骤 1.4.9.1

运用分配律。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

解题步骤 1.4.9.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

解题步骤 1.4.10

将 $3 x$ 和 $4 x$ 相加。

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

解题步骤 1.4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ 。

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12

化简每一项。

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解题步骤 1.4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.12.2.1

移动 $x$ 。

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 1.4.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.2.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.3

将 $- 4$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.4

使用乘法的交换性质重写。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.12.5.1

移动 $x$ 。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.4.12.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.5.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.6

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.7

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.8

使用乘法的交换性质重写。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.9

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.12.9.1

移动 $x$ 。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.9.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.12.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.9.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

解题步骤 1.4.12.10

将 $- 4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1.4.13

从 $- 4 x^{5}$ 中减去 $14 x^{5}$ 。

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1.4.14

将 $8 x^{4}$ 和 $7 x^{4}$ 相加。

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$42 x^{5} - 18 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$42 x^{5} - 18 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.3.3

将 $5$ 乘以 $- 18$ 。

$42 x^{5} - 90 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.4.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.5.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = 42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $42 x^{5} - 90 x^{4} + 60 x^{3} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $42$ 对于 $x$ 是常数，所以 $42 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $5$ 乘以 $42$ 。

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 90 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 90$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 90 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 90 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$210 x^{4} - 90 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$210 x^{4} - 90 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.3.3

将 $4$ 乘以 $- 90$ 。

$210 x^{4} - 360 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 乘以 $60$ 。

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} - 12 (2 x)$

解题步骤 3.5.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f''' (x) = 210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} - 24 x$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $210 x^{4} - 360 x^{3} + 180 x^{2} - 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $210$ 对于 $x$ 是常数，所以 $210 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 乘以 $210$ 。

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 360 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 360$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 360 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 360 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$840 x^{3} - 360 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$840 x^{3} - 360 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.3.3

将 $3$ 乘以 $- 360$ 。

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $180$ 对于 $x$ 是常数，所以 $180 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.4.3

将 $2$ 乘以 $180$ 。

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 360 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

解题步骤 4.5

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

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解题步骤 4.5.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 360 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$840 x^{3} - 1080 x^{2} + 360 x - 24 \cdot 1$

解题步骤 4.5.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 840 x^{3} - 1080 x^{2} + 360 x - 24$

微积分学 示例

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