微积分学示例

${(2 x + 3)}^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 2 x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 3$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 1.1.3

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$4 {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$4 {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 8 {(2 x + 3)}^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 {(2 x + 3)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x + 3$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 3$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$24 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$24 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$24 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

解题步骤 2.3.7.2

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$f'' (x) = 48 {(2 x + 3)}^{2}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

将 ${(2 x + 3)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 3) (2 x + 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [48 ((2 x + 3) (2 x + 3))]$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 3) (2 x + 3)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))]$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

解题步骤 3.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

解题步骤 3.3.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

解题步骤 3.3.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)]$

解题步骤 3.3.1.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)]$

解题步骤 3.3.2

将 $6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 12 x + 9)]$

解题步骤 3.4

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 (4 x^{2} + 12 x + 9)$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$ 。

$48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $4 x^{2} + 12 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$48 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$48 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$48 (8 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.9

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$48 (8 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$48 (8 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.11

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$48 (8 x + 12 + \frac{d}{d x} [9])$

解题步骤 3.12

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$48 (8 x + 12 + 0)$

解题步骤 3.13

将 $8 x + 12$ 和 $0$ 相加。

$48 (8 x + 12)$

解题步骤 3.14

化简。

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解题步骤 3.14.1

运用分配律。

$48 (8 x) + 48 \cdot 12$

解题步骤 3.14.2

合并项。

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解题步骤 3.14.2.1

将 $8$ 乘以 $48$ 。

$384 x + 48 \cdot 12$

解题步骤 3.14.2.2

将 $48$ 乘以 $12$ 。

$f''' (x) = 384 x + 576$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $384 x + 576$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$ 。

$\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [384 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $384$ 对于 $x$ 是常数，所以 $384 x$ 对 $x$ 的导数是 $384 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$384 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]$

解题步骤 4.2.3

将 $384$ 乘以 $1$ 。

$384 + \frac{d}{d x} [576]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $576$ 对于 $x$ 是常数，所以 $576$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$384 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $384$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 384$

微积分学 示例

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