微积分学示例

$\frac{3}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x^{- 2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.5.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{3}{x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- 3 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 2.4

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$6 x^{- 3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 2.5.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{x^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$6 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 3.4

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$- 18 x^{- 4}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 18 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.5.2.1

组合 $- 18$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{- 18}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{18}{x^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{18}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$- 18 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 18 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 18 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$- 18 (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 4.4

将 $- 4$ 乘以 $- 18$ 。

$72 x^{- 5}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$72 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 4.5.2

组合 $72$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{72}{x^{5}}$

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