微积分学示例

$\arctan (\frac{1 + x}{1 - x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $1 - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.10

乘。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.10.2

将 $1 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.12

化简项。

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解题步骤 3.12.1

将 $1 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.12.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.12.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.12.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}} \cdot \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.12.5

将 $\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ 。

$\frac{2}{(1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{2}) {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{(1 + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2}{(\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ 和 ${(1 - x)}^{2}$ 。

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去 ${(1 - x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$\frac{2}{\frac{({(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}) {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

用 ${(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 ${(1 - x)}^{2}$ 重写为 $(1 - x) (1 - x)$ 。

$\frac{2}{(1 - x) (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{2}{1 (1 - x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

运用分配律。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x) + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.3

运用分配律。

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1 - x - x \cdot 1 - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1 - x - x - x (- x) + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2}{1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{1 - x - x + 1 x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1 - x - x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 4.3.4

将 ${(1 + x)}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 + x)$ 。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + (1 + x) (1 + x)}$

解题步骤 4.3.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 + x)$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

运用分配律。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 (1 + x) + x (1 + x)}$

解题步骤 4.3.5.2

运用分配律。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)}$

解题步骤 4.3.5.3

运用分配律。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

解题步骤 4.3.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

解题步骤 4.3.6.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x}$

解题步骤 4.3.6.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x \cdot x}$

解题步骤 4.3.6.1.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + x + x + x^{2}}$

解题步骤 4.3.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{2}{1 - 2 x + x^{2} + 1 + 2 x + x^{2}}$

解题步骤 4.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{- 2 x + x^{2} + 2 + 2 x + x^{2}}$

解题步骤 4.3.8

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2}{x^{2} + 2 + 0 + x^{2}}$

解题步骤 4.3.9

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{x^{2} + 2 + x^{2}}$

解题步骤 4.3.10

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

解题步骤 4.3.11

从 $2 x^{2} + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.3.11.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

解题步骤 4.3.11.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

解题步骤 4.3.11.3

从 $2 (x^{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

微积分学 示例

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