微积分学示例

$\frac{\tan (x) - 1}{\sec (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \tan (x) - 1$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 2

根据加法法则， $\tan (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 4.2

将 $\sec^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 5

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 6

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 7

从 $\sec^{3} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 7.1

从 $\sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.2

从 $- (\tan (x) - 1) \sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 7.3

从 $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- (\tan (x) - 1) \tan (x))$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

解题步骤 8

约去公因数。

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解题步骤 8.1

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{\sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1.1

乘以 $- \tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 9.3.1.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9.3.1.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - - 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + 1 \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9.3.1.3

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x)}{\sec (x)}$

解题步骤 9.3.2

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$

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