微积分学示例

$\sqrt{3 x} + 2 \cos (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sqrt{3 x} + 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x}$ 重写成 ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.3

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.4

因为 $3^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.10

将负号移到分数的前面。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.12

组合 $3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- \sin (x))$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \sin (x)$

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