微积分学示例

$\frac{\arcsin (3 x)}{x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \arcsin (3 x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\arcsin (3 x)] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (9 x^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

组合 $3$ 和 $\frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ 。

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \cdot 1 - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

将 $\frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

合并。

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} (\frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} - \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 5.3

约去 $\sqrt{1 - 9 x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}} \frac{3 x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x) \cdot 1)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x + \sqrt{1 - 9 x^{2}} (- \arcsin (3 x))}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x - \sqrt{1 - 9 x^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 8.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{3 x - \sqrt{1^{2} - 9 x^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 8.1.3

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$\frac{3 x - \sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 8.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 3 x$ 。

$\frac{3 x - \sqrt{(1 + 3 x) (1 - (3 x))} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 8.1.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x - \sqrt{(1 + 3 x) (1 - 3 x)} \arcsin (3 x)}{\sqrt{1 - 9 x^{2}} x^{2}}$

解题步骤 8.2

重新排序项。

$\frac{- \sqrt{(1 + 3 x) (1 - 3 x)} \arcsin (3 x) + 3 x}{x^{2} \sqrt{1 - 9 x^{2}}}$

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