微积分学示例

$y = \sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3} = y$ 。

$\sqrt{x - 3} - \sqrt{x + 3} = y$

解题步骤 2

在等式两边都加上 $\sqrt{x + 3}$ 。

$\sqrt{x - 3} = y + \sqrt{x + 3}$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x - 3}}^{2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 3}$ 重写成 ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

将 ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x - 3)}^{1} = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

化简。

$x - 3 = {(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简 ${(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

将 ${(y + \sqrt{x + 3})}^{2}$ 重写为 $(y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$ 。

$x - 3 = (y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$

解题步骤 4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(y + \sqrt{x + 3}) (y + \sqrt{x + 3})$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

运用分配律。

$x - 3 = y (y + \sqrt{x + 3}) + \sqrt{x + 3} (y + \sqrt{x + 3})$

解题步骤 4.3.1.2.2

运用分配律。

$x - 3 = y \cdot y + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} (y + \sqrt{x + 3})$

解题步骤 4.3.1.2.3

运用分配律。

$x - 3 = y \cdot y + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$

解题步骤 4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + \sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$

解题步骤 4.3.1.3.1.2

乘以 $\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1.2.1

对 $\sqrt{x + 3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}$

解题步骤 4.3.1.3.1.2.2

对 $\sqrt{x + 3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {\sqrt{x + 3}}^{2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3

将 ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ 重写为 $x + 3$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 3}$ 重写成 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.3.1.3.4.1

约去公因数。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.4.2

重写表达式。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + {(x + 3)}^{1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3.5

化简。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} y + x + 3$

解题步骤 4.3.1.3.2

重新排序 $\sqrt{x + 3} y$ 的因式。

$x - 3 = y^{2} + y \sqrt{x + 3} + y \sqrt{x + 3} + x + 3$

解题步骤 4.3.1.3.3

将 $y \sqrt{x + 3}$ 和 $y \sqrt{x + 3}$ 相加。

$x - 3 = y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3$

解题步骤 5

求解 $2 y \sqrt{x + 3}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3$ 。

$y^{2} + 2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $2 y \sqrt{x + 3}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$2 y \sqrt{x + 3} + x + 3 = x - 3 - y^{2}$

解题步骤 5.2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 y \sqrt{x + 3} + 3 = x - 3 - y^{2} - x$

解题步骤 5.2.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 y \sqrt{x + 3} = x - 3 - y^{2} - x - 3$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 3 - y^{2} - x - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$2 y \sqrt{x + 3} = - 3 - y^{2} + 0 - 3$

解题步骤 5.2.4.2

将 $- 3 - y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 y \sqrt{x + 3} = - 3 - y^{2} - 3$

解题步骤 5.2.5

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$2 y \sqrt{x + 3} = - y^{2} - 6$

解题步骤 6

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 y \sqrt{x + 3})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7

化简方程的两边。

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解题步骤 7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 3}$ 重写成 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

化简 ${(2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $2 y {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(2 y)}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.1.2

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$2^{2} y^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 y^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

将 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 y^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 y^{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 y^{2} {(x + 3)}^{1} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

化简。

$4 y^{2} (x + 3) = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

运用分配律。

$4 y^{2} x + 4 y^{2} \cdot 3 = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.6

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = {(- y^{2} - 6)}^{2}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简 ${(- y^{2} - 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1.1

将 ${(- y^{2} - 6)}^{2}$ 重写为 $(- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$ 。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = (- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$

解题步骤 7.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- y^{2} - 6) (- y^{2} - 6)$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

运用分配律。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2} - 6) - 6 (- y^{2} - 6)$

解题步骤 7.3.1.2.2

运用分配律。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2} - 6)$

解题步骤 7.3.1.2.3

运用分配律。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1.3.1.2.1

移动 $y^{2}$ 。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2}) - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = - 1 \cdot - 1 y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = 1 y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3.1.4

将 $y^{4}$ 乘以 $1$ 。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} - y^{2} \cdot - 6 - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3.1.5

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} - 6 (- y^{2}) - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} + 6 y^{2} - 6 \cdot - 6$

解题步骤 7.3.1.3.1.7

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 6 y^{2} + 6 y^{2} + 36$

解题步骤 7.3.1.3.2

将 $6 y^{2}$ 和 $6 y^{2}$ 相加。

$4 y^{2} x + 12 y^{2} = y^{4} + 12 y^{2} + 36$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.1.1

从等式两边同时减去 $12 y^{2}$ 。

$4 y^{2} x = y^{4} + 12 y^{2} + 36 - 12 y^{2}$

解题步骤 8.1.2

合并 $y^{4} + 12 y^{2} + 36 - 12 y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 8.1.2.1

从 $12 y^{2}$ 中减去 $12 y^{2}$ 。

$4 y^{2} x = y^{4} + 0 + 36$

解题步骤 8.1.2.2

将 $y^{4}$ 和 $0$ 相加。

$4 y^{2} x = y^{4} + 36$

解题步骤 8.2

将 $4 y^{2} x = y^{4} + 36$ 中的每一项除以 $4 y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $4 y^{2} x = y^{4} + 36$ 中的每一项都除以 $4 y^{2}$ 。

$\frac{4 y^{2} x}{4 y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{2} x}{4 y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{y^{4}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.3.1.1

约去 $y^{4}$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.1

从 $y^{4}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{4 y^{2}} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1.2.1

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2} \cdot 4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2} \cdot 4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{36}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.3.1.2

约去 $36$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.2.2.1

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 (y^{2})}$

解题步骤 8.2.3.1.2.2.2

约去公因数。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 \cdot 9}{4 y^{2}}$

解题步骤 8.2.3.1.2.2.3

重写表达式。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{9}{y^{2}}$

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