微积分学示例

$f (x) = \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ 无定义。

$x = - \frac{5}{6}$

解题步骤 2

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 2.1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.2

计算极限值。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $10$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.2.4

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.2.5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.2.6

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.2.7

因为项 $11$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{10 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.4

计算极限值。

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解题步骤 2.4.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.4.2

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

解题步骤 2.4.3

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 2.6

化简答案。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

将 $11$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 2.6.1.2

将 $10$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 2.6.2

化简分母。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $10$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 0}$

解题步骤 2.6.2.2

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{10}}{12}$

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $- \sqrt{x^{2}} = x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2

计算极限值。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2.2.2

用 $10$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2.4

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2.5

将极限移入根号内。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2.6

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2.7

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- \sqrt{10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.2.8

因为项 $11$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.4

计算极限值。

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解题步骤 3.4.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.4.2

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

解题步骤 3.4.3

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $11$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $10$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.6.2

化简分母。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $10$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 0}$

解题步骤 3.6.2.2

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{10}}{12}$

解题步骤 3.6.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{10}}{12}$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - \frac{5}{6}$

水平渐近线： $y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

无法求斜渐近线

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例