微积分学示例

$y = 2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $v$ 是常数，所以 $2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$ 对 $v$ 的导数是 $2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$ 。

$2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ 等于 $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ，其中 $f (v) = \sin (v^{2})$ 且 $g (v) = \cos (6 v)$ 。

$2 (\sin (v^{2}) \frac{d}{d v} [\cos (6 v)] + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 等于 $f' (g (v)) g' (v)$ ，其中 $f (v) = \cos (v)$ 且 $g (v) = 6 v$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 v$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

解题步骤 3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

解题步骤 3.3

使用 $6 v$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $6$ 对于 $v$ 是常数，所以 $6 v$ 对 $v$ 的导数是 $6 \frac{d}{d v} [v]$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) (6 \frac{d}{d v} [v])) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

解题步骤 4.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \frac{d}{d v} [v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \cdot 1) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

解题步骤 4.4

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 等于 $f' (g (v)) g' (v)$ ，其中 $f (v) = \sin (v)$ 且 $g (v) = v^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $v^{2}$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

解题步骤 5.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

解题步骤 5.3

使用 $v^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$- 12 (\sin (v^{2}) (\sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 \cos (6 v) \cos (v^{2}) v$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 v \cos (v^{2}) \cos (6 v)$

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