微积分学示例

$y \sin (x) = x \sin (y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (x \sin (y))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (y)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \cos (y) y' + \sin (y) \cdot 1$

解题步骤 3.5

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$x \cos (y) y' + \sin (y)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y \cos (x) + \sin (x) y' = x \cos (y) y' + \sin (y)$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $y \cos (x) + \sin (x) y'$ 中的因式重新排序。

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x \cos (y) y' + \sin (y)$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

将 $x \cos (y) y' + \sin (y)$ 中的因式重新排序。

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x y' \cos (y) + \sin (y)$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $x y' \cos (y)$ 。

$y \cos (x) + y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y)$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $y \cos (x)$ 。

$y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

解题步骤 5.5

从 $y' \sin (x) - x y' \cos (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $y' \sin (x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\sin (x)) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

解题步骤 5.5.2

从 $- x y' \cos (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

解题步骤 5.5.3

从 $y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

解题步骤 5.6

将 $y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ 中的每一项除以 $\sin (x) - x \cos (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ 中的每一项都除以 $\sin (x) - x \cos (y)$ 。

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $\sin (x) - x \cos (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

解题步骤 5.6.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} - \frac{y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

解题步骤 5.6.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

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