微积分学示例

$y = \sin (\sqrt{1 + x^{2}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \sin ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.2.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

解题步骤 4.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 4.12

化简项。

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解题步骤 4.12.1

组合 $2$ 和 $\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 4.12.2

组合 $\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.12.3

约去公因数。

$\frac{2 \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.12.4

重写表达式。

$\frac{\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13

化简。

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解题步骤 4.13.1

将 $\cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) x$ 中的因式重新排序。

$\frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13.2

重新排序项。

$\frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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