微积分学示例

$y = \ln (\sqrt{x^{2} + 4})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 4}$ 重写成 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 4$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.2.3

使用 $x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

解题步骤 4.10

将 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 4.11

通过指数相加将 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.11.1

移动 ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 4.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 4.11.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 4.11.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 4.11.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 4.12

化简 $2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ 。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 4.13

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 4.15

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x + 0)$

解题步骤 4.16

化简项。

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解题步骤 4.16.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 (x^{2} + 4)} (2 x)$

解题步骤 4.16.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 (x^{2} + 4)}$ 。

$\frac{2}{2 (x^{2} + 4)} x$

解题步骤 4.16.3

组合 $\frac{2}{2 (x^{2} + 4)}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

解题步骤 4.16.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.16.4.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 4)}$

解题步骤 4.16.4.2

重写表达式。

$\frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{x}{x^{2} + 4}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

微积分学 示例

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