微积分学示例

$y = \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

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