微积分学示例

$y = \sqrt{x} (3 x - 1)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1)$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (3 x - 1))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 x - 1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

求微分。

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解题步骤 4.2.1

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.6

化简表达式。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.6.2

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$3 \cdot x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$3 x^{\frac{1}{2}} + (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10

化简。

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解题步骤 4.10.1

运用分配律。

$3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2

合并项。

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解题步骤 4.10.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.10.2.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.5.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.10.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.5.4

在公分母上合并分子。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.5.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.6

将 $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.7

要将 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.8

组合 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.10.2.11

将 $6 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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