微积分学示例

$y = 8^{3 - x^{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 8^{x}$ 且 $g (x) = 3 - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $8$ 。

$8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $3 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- (2 x))$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- 2 x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 $8^{3 - x^{2}} \ln (8) (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 \cdot 8^{3 - x^{2}} x \ln (8)$

解题步骤 3.2

乘以 $- 2 \cdot 8^{3 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

提取负因数。

$- (2 \cdot 8^{3 - x^{2}}) x \ln (8)$

解题步骤 3.2.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$- (2 \cdot {(2^{3})}^{3 - x^{2}}) x \ln (8)$

解题步骤 3.2.3

将 ${(2^{3})}^{3 - x^{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- (2 \cdot 2^{3 (3 - x^{2})}) x \ln (8)$

解题步骤 3.2.3.2

运用分配律。

$- (2 \cdot 2^{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2})}) x \ln (8)$

解题步骤 3.2.3.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- (2 \cdot 2^{9 + 3 (- x^{2})}) x \ln (8)$

解题步骤 3.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- (2 \cdot 2^{9 - 3 x^{2}}) x \ln (8)$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2^{1 + 9 - 3 x^{2}} x \ln (8)$

解题步骤 3.2.5

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$- 2^{10 - 3 x^{2}} x \ln (8)$

解题步骤 3.3

将 $- 2^{10 - 3 x^{2}} x \ln (8)$ 中的因式重新排序。

$- x \cdot 2^{10 - 3 x^{2}} \ln (8)$

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