微积分学示例

$y = (5 x - 4) (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x - 4$ 且 $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 1$ 。

$(5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 1] + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{3} - x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(5 x - 4) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.9

将 $15 x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $5 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 2.13

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 2.14

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) (5 + 0)$

解题步骤 2.15

化简表达式。

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解题步骤 2.15.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 5$

解题步骤 2.15.2

将 $5$ 移到 $5 x^{3} - x^{2} + 1$ 的左侧。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + 5 \cdot (5 x^{3} - x^{2} + 1)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(5 x - 4) (15 x^{2} - 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(5 x - 4) (15 x^{2}) + (5 x - 4) (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$5 x (15 x^{2}) - 4 (15 x^{2}) + (5 x - 4) (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$5 x (15 x^{2}) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5

合并项。

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解题步骤 3.5.1

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$75 x \cdot x^{2} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$75 (x^{2} x) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$75 (x^{2} x^{1}) - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$75 x^{2 + 1} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$75 x^{3} - 4 (15 x^{2}) + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.3

将 $15$ 乘以 $- 4$ 。

$75 x^{3} - 60 x^{2} + 5 x (- 2 x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.4

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x \cdot x - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 (x^{1} x) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 (x^{1} x^{1}) - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{1 + 1} - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{2} - 4 (- 2 x) + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.9

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$75 x^{3} - 60 x^{2} - 10 x^{2} + 8 x + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.10

从 $- 60 x^{2}$ 中减去 $10 x^{2}$ 。

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 5 (5 x^{3}) + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.11

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} + 5 (- x^{2}) + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.12

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} - 5 x^{2} + 5 \cdot 1$

解题步骤 3.5.13

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$75 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x + 25 x^{3} - 5 x^{2} + 5$

解题步骤 3.5.14

将 $75 x^{3}$ 和 $25 x^{3}$ 相加。

$100 x^{3} - 70 x^{2} + 8 x - 5 x^{2} + 5$

解题步骤 3.5.15

从 $- 70 x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$100 x^{3} - 75 x^{2} + 8 x + 5$

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