微积分学示例

$y = (16 x + 5) {(4 x - 3)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(4 x - 3)}^{2}$ 重写为 $(4 x - 3) (4 x - 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) ((4 x - 3) (4 x - 3))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(4 x - 3) (4 x - 3)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x - 3))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 3.1.5

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 12 x - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 3.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 12 x - 12 x + 9)]$

解题步骤 3.2

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$\frac{d}{d x} [(16 x + 5) (16 x^{2} - 24 x + 9)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 16 x + 5$ 且 $g (x) = 16 x^{2} - 24 x + 9$ 。

$(16 x + 5) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 24 x + 9] + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $16 x^{2} - 24 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$(16 x + 5) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.2

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(16 x + 5) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(16 x + 5) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.4

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$(16 x + 5) (32 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.5

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.7

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.8

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24 + 0) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.9

将 $32 x - 24$ 和 $0$ 相加。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \frac{d}{d x} [16 x + 5]$

解题步骤 5.10

根据加法法则， $16 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.11

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.13

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.14

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) (16 + 0)$

解题步骤 5.15

化简表达式。

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解题步骤 5.15.1

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + (16 x^{2} - 24 x + 9) \cdot 16$

解题步骤 5.15.2

将 $16$ 移到 $16 x^{2} - 24 x + 9$ 的左侧。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + 16 \cdot (16 x^{2} - 24 x + 9)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$(16 x + 5) (32 x - 24) + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(16 x + 5) (32 x) + (16 x + 5) \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$16 x (32 x) + 5 (32 x) + (16 x + 5) \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$16 x (32 x) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5

合并项。

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解题步骤 6.5.1

将 $32$ 乘以 $16$ 。

$512 x \cdot x + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$512 (x^{1} x) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$512 (x^{1} x^{1}) + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$512 x^{1 + 1} + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$512 x^{2} + 5 (32 x) + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.6

将 $32$ 乘以 $5$ 。

$512 x^{2} + 160 x + 16 x \cdot - 24 + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.7

将 $- 24$ 乘以 $16$ 。

$512 x^{2} + 160 x - 384 x + 5 \cdot - 24 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.8

将 $5$ 乘以 $- 24$ 。

$512 x^{2} + 160 x - 384 x - 120 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.9

从 $160 x$ 中减去 $384 x$ 。

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 16 (16 x^{2}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.10

将 $16$ 乘以 $16$ 。

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} + 16 (- 24 x) + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.11

将 $- 24$ 乘以 $16$ 。

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} - 384 x + 16 \cdot 9$

解题步骤 6.5.12

将 $16$ 乘以 $9$ 。

$512 x^{2} - 224 x - 120 + 256 x^{2} - 384 x + 144$

解题步骤 6.5.13

将 $512 x^{2}$ 和 $256 x^{2}$ 相加。

$768 x^{2} - 224 x - 120 - 384 x + 144$

解题步骤 6.5.14

从 $- 224 x$ 中减去 $384 x$ 。

$768 x^{2} - 608 x - 120 + 144$

解题步骤 6.5.15

将 $- 120$ 和 $144$ 相加。

$768 x^{2} - 608 x + 24$

微积分学 示例

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