微积分学示例

$y = \ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $4 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $4 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{4 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4 x - 1} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.7

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4 x - 1} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{1}{4 x - 1}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{- 3}{x}$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{4 x - 1} - \frac{3}{x}$

解题步骤 4

合并项。

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解题步骤 4.1

要将 $\frac{4}{4 x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x}$

解题步骤 4.2

要将 $- \frac{3}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ 。

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

解题步骤 4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(4 x - 1) x$ 的形式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{4}{4 x - 1}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{3}{x}$ 乘以 $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ 。

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

解题步骤 4.3.3

重新排序 $(4 x - 1) x$ 的因式。

$\frac{4 x}{x (4 x - 1)} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 x - 3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

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