微积分学示例

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{a \to 0} \ln (1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

解题步骤 1.1.2.1.2

当 $a$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $a$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $a$ 来计算 $a$ 的极限值。

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{a \to 0} a}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (1)}{lim_{a \to 0} a}$

解题步骤 1.1.2.3.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{a \to 0} a}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $a$ 来计算 $a$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a} = lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = \ln (a)$ 且 $g (a) = 1 + a$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + a$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $1 + a$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $1 + a$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a]$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $1$ 对于 $a$ 是常数，所以 $1$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (0 + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d a} [a]$ 相加。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \cdot 1}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.7

将 $\frac{1}{1 + a}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a}}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.8

重新排序项。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{\frac{d}{d a} [a]}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{a + 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $a$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{a \to 0} 1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

解题步骤 2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $a$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

解题步骤 2.3

当 $a$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + lim_{a \to 0} 1}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $a$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $a$ 来计算 $a$ 的极限值。

$\frac{1}{0 + 1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 4.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

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