微积分学示例

$y = 5 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

解题步骤 2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

解题步骤 2.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}]$

解题步骤 2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}]$

解题步骤 2.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}]$

解题步骤 2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}]$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}]$

解题步骤 2.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}]$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}]$

解题步骤 2.5.5

化简。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}]$

解题步骤 3

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

解题步骤 4

根据加法法则， $5 e^{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [5 e^{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$ 。

$\frac{d}{d y} [5 e^{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

解题步骤 5

因为 $5 e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5 e^{x}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

解题步骤 6

因为 $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

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