微积分学示例

$y = 3 x^{- \frac{3}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{3} - 2$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 x^{- \frac{3}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{3} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{- \frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{2}$ 。

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.6.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$3 (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.8

组合 $x^{- \frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$3 (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.10

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ 。

$\frac{- 3 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.11

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 9 x^{- \frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 2.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.8

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.12

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.13

约去公因数。

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解题步骤 3.13.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.13.2

约去公因数。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.13.3

重写表达式。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 4.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2} + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 3 x^{2}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$3 x^{2} - \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

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