微积分学示例

$y = \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (\frac{1}{x}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.3.2

组合 $\cos (\frac{1}{x})$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$

微积分学 示例