微积分学示例

$y = \frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $\sin (x) + \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

乘以 $- x (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + 1 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

重新排序项。

$\frac{- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

从 $- x \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.5

从 $x \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.6

从 $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.7

从 $\sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.8

从 $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.9

从 $\cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.10

从 $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.11

将 $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ 重写为 $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ 。

$\frac{- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

微积分学 示例

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