微积分学示例

$y = \ln ({(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

解题步骤 3.1.3

使用 ${(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} \frac{d}{d x} [{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

解题步骤 3.3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (4 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}]))$

解题步骤 3.3.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{5 x^{5} + 4}])$

解题步骤 3.4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 5 x^{5} + 4$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{(5 x^{5} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{(5 x^{5} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 移到 $5 x^{5} + 4$ 的左侧。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 \cdot (5 x^{5} + 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 4]}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5.3

根据加法法则， $5 x^{5} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5.6

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4} + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4} + 0)}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5.8

化简表达式。

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解题步骤 3.5.8.1

将 $25 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - x^{2} (25 x^{4})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.5.8.2

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{2} x^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.6.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 (x^{4} x^{2})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{4 + 2}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.6.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (16 {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3} \frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}})$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}}$ 和 $16$ 。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{(2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}) \cdot 16}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

解题步骤 3.8

将 $16$ 移到 $2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6}$ 的左侧。

$\frac{1}{{(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{4}} (\frac{16 \cdot (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

对 $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{{(4 x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

解题步骤 3.9.2

对 $4 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} {(\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4})}^{3})$

解题步骤 3.9.3

对 $\frac{4 x^{2}}{5 x^{5} + 4}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.4

对 $4 x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5} + 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.5

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 ((2 (5 x^{5}) + 2 \cdot 4) x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.6

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x + 2 \cdot 4 x - 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.7

运用分配律。

$\frac{1}{\frac{4^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8

合并项。

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解题步骤 3.9.8.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{256 {(x^{2})}^{4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.2

将 ${(x^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.9.8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\frac{256 x^{2 \cdot 4}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{\frac{256 x^{8}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{256 x^{8}}{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}$ 。

$1 \frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.4

将 $\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (2 (5 x^{5}) x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.5

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{5} x) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 (x^{1} x^{5})) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{1 + 5}) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.8

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{16 (10 x^{6}) + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.9

将 $10$ 乘以 $16$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 16 (2 \cdot 4 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 16 (8 x) + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.11

将 $8$ 乘以 $16$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 128 x + 16 (- 25 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.12

将 $- 25$ 乘以 $16$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{160 x^{6} + 128 x - 400 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.13

从 $160 x^{6}$ 中减去 $400 x^{6}$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.14

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 {(x^{2})}^{3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.15

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.9.8.15.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 x^{2 \cdot 3}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.15.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} (\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}} \cdot \frac{64 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.8.16

将 $\frac{- 240 x^{6} + 128 x}{{(5 x^{5} + 4)}^{2}}$ 乘以 $\frac{64 x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{3}}$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2} {(5 x^{5} + 4)}^{3}}$

解题步骤 3.9.8.17

通过指数相加将 ${(5 x^{5} + 4)}^{2}$ 乘以 ${(5 x^{5} + 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.9.8.17.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{2 + 3}}$

解题步骤 3.9.8.17.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{(- 240 x^{6} + 128 x) (64 x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

解题步骤 3.9.8.18

将 $64$ 移到 $- 240 x^{6} + 128 x$ 的左侧。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}} \cdot \frac{64 \cdot (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

解题步骤 3.9.8.19

将 $\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4}}{256 x^{8}}$ 乘以 $\frac{64 (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{{(5 x^{5} + 4)}^{5}}$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (64 (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

解题步骤 3.9.8.20

将 $64$ 移到 ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ 的左侧。

$\frac{64 \cdot {(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

解题步骤 3.9.8.21

约去 $64$ 和 $256$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.8.21.1

从 $64 {(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}$ 中分解出因数 $64$ 。

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

解题步骤 3.9.8.21.2

约去公因数。

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解题步骤 3.9.8.21.2.1

从 $256 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}$ 中分解出因数 $64$ 。

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{64 (4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5})}$

解题步骤 3.9.8.21.2.2

约去公因数。

$\frac{64 (({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6})}{64 (4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5})}$

解题步骤 3.9.8.21.2.3

重写表达式。

$\frac{({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6}}{4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

解题步骤 3.9.8.22

约去 ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ 和 ${(5 x^{5} + 4)}^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.8.22.1

从 $({(5 x^{5} + 4)}^{4} (- 240 x^{6} + 128 x)) x^{6}$ 中分解出因数 ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}}$

解题步骤 3.9.8.22.2

约去公因数。

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解题步骤 3.9.8.22.2.1

从 $4 x^{8} {(5 x^{5} + 4)}^{5}$ 中分解出因数 ${(5 x^{5} + 4)}^{4}$ 。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (4 x^{8} (5 x^{5} + 4))}$

解题步骤 3.9.8.22.2.2

约去公因数。

$\frac{{(5 x^{5} + 4)}^{4} ((- 240 x^{6} + 128 x) x^{6})}{{(5 x^{5} + 4)}^{4} (4 x^{8} (5 x^{5} + 4))}$

解题步骤 3.9.8.22.2.3

重写表达式。

$\frac{(- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}}{4 x^{8} (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.8.23

约去 $x^{6}$ 和 $x^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.8.23.1

从 $(- 240 x^{6} + 128 x) x^{6}$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{4 x^{8} (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.8.23.2

约去公因数。

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解题步骤 3.9.8.23.2.1

从 $4 x^{8} (5 x^{5} + 4)$ 中分解出因数 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{x^{6} (4 x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

解题步骤 3.9.8.23.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{6} ((- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6})}{x^{6} (4 x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

解题步骤 3.9.8.23.2.3

重写表达式。

$\frac{(- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6}}{4 x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.8.24

约去 $- 240 + 128 x^{- 5}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.8.24.1

从 $(- 240 + 128 x^{- 5}) x^{6}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.8.24.2

约去公因数。

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解题步骤 3.9.8.24.2.1

从 $4 x^{2} (5 x^{5} + 4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 (x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

解题步骤 3.9.8.24.2.2

约去公因数。

$\frac{4 ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6})}{4 (x^{2} (5 x^{5} + 4))}$

解题步骤 3.9.8.24.2.3

重写表达式。

$\frac{(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6}}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.8.25

约去 $x^{6}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.8.25.1

从 $(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4})}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.8.25.2

约去公因数。

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解题步骤 3.9.8.25.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} ((- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4})}{x^{2} (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.8.25.2.2

重写表达式。

$\frac{(- 60 + 32 x^{- 5}) x^{4}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.9

重新排序项。

$\frac{x^{4} (- 60 + 32 x^{- 5})}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10

化简分子。

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解题步骤 3.9.10.1

从 $- 60 + 32 x^{- 5}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.9.10.1.1

从 $- 60$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{4} (4 (- 15) + 32 x^{- 5})}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.1.2

从 $32 x^{- 5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{4} (4 (- 15) + 4 (8 x^{- 5}))}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.1.3

从 $4 (- 15) + 4 (8 x^{- 5})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x^{4} (4 (- 15 + 8 x^{- 5}))}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{x^{4} (4 (- 15 + 8 \frac{1}{x^{5}}))}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.3

组合 $8$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{x^{4} \cdot 4 (- 15 + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.4

要将 $- 15$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ 。

$\frac{x^{4} \cdot 4 (- 15 \cdot \frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.5

组合 $- 15$ 和 $\frac{x^{5}}{x^{5}}$ 。

$\frac{x^{4} \cdot 4 (\frac{- 15 x^{5}}{x^{5}} + \frac{8}{x^{5}})}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.6

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{4} \cdot 4 \frac{- 15 x^{5} + 8}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.7

合并指数。

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解题步骤 3.9.10.7.1

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{- 15 x^{5} + 8}{x^{5}}$ 。

$\frac{4 \frac{x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.7.2

组合 $4$ 和 $\frac{x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}$ 。

$\frac{\frac{4 (x^{4} (- 15 x^{5} + 8))}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.8

去掉多余的括号。

$\frac{\frac{4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.9

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)}{x^{5}}$ 。

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解题步骤 3.9.10.9.1

从 $4 x^{4} (- 15 x^{5} + 8)$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{5}}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.9.2

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{4} x}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.9.3

约去公因数。

$\frac{\frac{x^{4} (4 (- 15 x^{5} + 8))}{x^{4} x}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.10.9.4

重写表达式。

$\frac{\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x}}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.11

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x} \cdot \frac{1}{5 x^{5} + 4}$

解题步骤 3.9.12

将 $\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x}$ 乘以 $\frac{1}{5 x^{5} + 4}$ 。

$\frac{4 (- 15 x^{5} + 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.13

从 $- 15 x^{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (15 x^{5}) + 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.14

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$\frac{4 (- (15 x^{5}) - 1 (- 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.15

从 $- (15 x^{5}) - 1 (- 8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 (- (15 x^{5} - 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.16

将 $- (15 x^{5} - 8)$ 重写为 $- 1 (15 x^{5} - 8)$ 。

$\frac{4 (- 1 (15 x^{5} - 8))}{x (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 3.9.17

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (15 x^{5} - 8)}{x (5 x^{5} + 4)}$

微积分学 示例

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