微积分学示例

$y = \frac{x + y}{x - y}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + y$ 且 $g (x) = x - y$ 。

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

运用分配律。

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

化简分子。

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解题步骤 3.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.8.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - y) (1 + y')$ 。

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解题步骤 3.8.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.8.2.1.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- x - y) (1 - y')$ 。

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解题步骤 3.8.2.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.3.2

运用分配律。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.3.3

运用分配律。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 3.8.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.4.2

乘以 $- x (- y')$ 。

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解题步骤 3.8.2.1.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.4.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.4.4

乘以 $- y (- y')$ 。

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解题步骤 3.8.2.1.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.1.4.4.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.2

合并 $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ 中相反的项。

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解题步骤 3.8.2.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.2.2

将 $x y' - y - y y'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.2.3

将 $- y y'$ 和 $y y'$ 相加。

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.2.4

将 $x y' - y + x y' - y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.3

将 $x y'$ 和 $x y'$ 相加。

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2.4

从 $- y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

从 $2 x y' - 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.8.3.1

从 $2 x y'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3.2

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3.3

从 $2 (x y') + 2 (- y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 ${(x - y)}^{2}$ 。

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 ${(x - y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

约去公因数。

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

重写表达式。

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

解题步骤 5.2.1.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

解题步骤 5.2.1.3.2

移动 $x$ 。

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.3.1.1

从等式两边同时减去 $2 y' x$ 。

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.2.1

将 ${(x - y)}^{2}$ 重写为 $(x - y) (x - y)$ 。

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - y) (x - y)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.2.1

运用分配律。

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.2.2

运用分配律。

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.2.3

运用分配律。

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.3.1.4.1

移动 $y$ 。

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3.2

从 $- x y$ 中减去 $y x$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.3.2.1

移动 $y$ 。

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.3.2.2

从 $- x y$ 中减去 $x y$ 。

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.4

运用分配律。

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.1.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.2

从 $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $y' x^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.2.2

从 $- 2 y' x y$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.2.3

从 $y' y^{2}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.2.4

从 $- 2 y' x$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

解题步骤 5.3.2.5

从 $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

解题步骤 5.3.2.6

从 $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

解题步骤 5.3.2.7

从 $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

解题步骤 5.3.3

将 $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ 中的每一项除以 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ 中的每一项都除以 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ 。

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

解题步骤 5.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

解题步骤 5.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

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