微积分学示例

$y = e^{- 5 x^{9}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- 5 x^{9}})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 5 x^{9}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 5 x^{9}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

解题步骤 3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $- 5 x^{9}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- 5 x^{9}} \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{9}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{9}]$ 。

$e^{- 5 x^{9}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{9}])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$e^{- 5 x^{9}} (- 5 (9 x^{8}))$

解题步骤 3.2.3

将 $9$ 乘以 $- 5$ 。

$e^{- 5 x^{9}} (- 45 x^{8})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

重新排序 $e^{- 5 x^{9}} (- 45 x^{8})$ 的因式。

$- 45 e^{- 5 x^{9}} x^{8}$

解题步骤 3.3.2

将 $- 45 e^{- 5 x^{9}} x^{8}$ 中的因式重新排序。

$- 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$

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