微积分学示例

$y = \tan (\sqrt{7 t})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 t}$ 重写成 ${(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.1

从 $7 t$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{d}{d t} [\tan ({(7 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.1.2

对 $7 (t)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d t} [\tan (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \tan (t)$ 且 $g (t) = 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

因为 $7^{\frac{1}{2}}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 4.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.10

组合 $7^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.12

组合 $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ 和 $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13

将 $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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