微积分学示例

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

解题步骤 2

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 4 t - 1$ 且 $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ 。

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = 2 t - 2$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t - 2$ 。

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.2.3

使用 $2 t - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $2 t - 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.3.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

解题步骤 3.3.7

根据加法法则， $4 t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.3.8

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.3.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.3.11

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

解题步骤 3.3.12

化简表达式。

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解题步骤 3.3.12.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

解题步骤 3.3.12.2

将 $4$ 移到 ${(2 t - 2)}^{- 1}$ 的左侧。

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序项。

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.4.2.2.1

从 $2 t - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.1.3

从 $2 (t) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2

对 $2 (t - 1)$ 运用乘积法则。

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.2

从 $4 {(t - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.4

重写表达式。

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.4

运用分配律。

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.5.1

将 $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.5.2

从 $2 {(t - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.5.3

从 $4 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.5.4

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.5.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.6

组合 $2$ 和 $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.8

组合 $\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ 和 $t$ 。

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.9

乘以 $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.4.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.9.2

将 $\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

解题步骤 3.4.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

解题步骤 3.4.2.12

从 $2 t - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.2.12.1

从 $2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

解题步骤 3.4.2.12.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

解题步骤 3.4.2.12.3

从 $2 (t) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

解题步骤 3.4.2.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.13.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

解题步骤 3.4.2.13.2

约去公因数。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

解题步骤 3.4.2.13.3

重写表达式。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

解题步骤 3.4.2.14

组合 $2$ 和 $\frac{1}{t - 1}$ 。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

解题步骤 3.4.3

要将 $\frac{2}{t - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t - 1}{t - 1}$ 。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(t - 1)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $\frac{2}{t - 1}$ 乘以 $\frac{t - 1}{t - 1}$ 。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.2

对 $t - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.3

对 $t - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

化简每一项。

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解题步骤 3.4.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.6.1.1

从 $- 2 t + 2 (t - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.1.1

从 $- 2 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.1.1.2

从 $2 (- t) + 2 (t - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.1.2

将 $- t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.1.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

要将 $- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 {(t - 1)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.8.2

重新排序 ${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ 的因式。

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10

化简分子。

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解题步骤 3.4.10.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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