微积分学示例

${(6 x - y)}^{2} - 5 y = 2$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(6 x - y)}^{2} - 5 y) = \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 ${(6 x - y)}^{2}$ 重写为 $(6 x - y) (6 x - y)$ 。

$\frac{d}{d x} [(6 x - y) (6 x - y) - 5 y]$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(6 x - y) (6 x - y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x - y) - y (6 x - y) - 5 y]$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x (- y) - y (6 x - y) - 5 y]$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x (- y) - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 \cdot - 1 x y - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.5

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - y (6 x) - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 1 \cdot 6 y x - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - y (- y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.9

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.9.1

移动 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.9.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x + 1 y^{2} - 5 y]$

解题步骤 2.3.1.11

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 y x + y^{2} - 5 y]$

解题步骤 2.3.2

从 $- 6 x y$ 中减去 $6 y x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 6 x y - 6 x y + y^{2} - 5 y]$

解题步骤 2.3.2.2

从 $- 6 x y$ 中减去 $6 x y$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2} - 12 x y + y^{2} - 5 y]$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $36 x^{2} - 12 x y + y^{2} - 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.5.3

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$72 x + \frac{d}{d x} [- 12 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.6

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$72 x - 12 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.6.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$72 x - 12 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.6.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$72 x - 12 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$72 x - 12 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.6.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$72 x - 12 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.7

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$72 x - 12 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.7.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.7.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.7.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.8.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$72 x - 12 (x y' + y) + 2 y y' - 5 y'$

解题步骤 2.9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.1

运用分配律。

$72 x - 12 (x y') - 12 y + 2 y y' - 5 y'$

解题步骤 2.9.2

去掉多余的括号。

$72 x - 12 x y' - 12 y + 2 y y' - 5 y'$

解题步骤 2.9.3

重新排序项。

$- 12 x y' + 2 y y' + 72 x - 12 y - 5 y'$

解题步骤 3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 12 x y' + 2 y y' + 72 x - 12 y - 5 y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $72 x$ 。

$- 12 x y' + 2 y y' - 12 y - 5 y' = - 72 x$

解题步骤 5.1.2

在等式两边都加上 $12 y$ 。

$- 12 x y' + 2 y y' - 5 y' = - 72 x + 12 y$

解题步骤 5.2

从 $- 12 x y' + 2 y y' - 5 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $- 12 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 12 x) + 2 y y' - 5 y' = - 72 x + 12 y$

解题步骤 5.2.2

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 12 x) + y' (2 y) - 5 y' = - 72 x + 12 y$

解题步骤 5.2.3

从 $- 5 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 12 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = - 72 x + 12 y$

解题步骤 5.2.4

从 $y' (- 12 x) + y' (2 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 12 x + 2 y) + y' \cdot - 5 = - 72 x + 12 y$

解题步骤 5.2.5

从 $y' (- 12 x + 2 y) + y' \cdot - 5$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$

解题步骤 5.3

将 $y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$ 中的每一项除以 $- 12 x + 2 y - 5$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $y' (- 12 x + 2 y - 5) = - 72 x + 12 y$ 中的每一项都除以 $- 12 x + 2 y - 5$ 。

$\frac{y' (- 12 x + 2 y - 5)}{- 12 x + 2 y - 5} = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 12 x + 2 y - 5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (- 12 x + 2 y - 5)}{- 12 x + 2 y - 5} = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 72 x}{- 12 x + 2 y - 5} + \frac{12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 72 x + 12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 72 x + 12 y$ 中分解出因数 $12$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.1

从 $- 72 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$y' = \frac{12 (- 6 x) + 12 y}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $12 y$ 中分解出因数 $12$ 。

$y' = \frac{12 (- 6 x) + 12 (y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $12 (- 6 x) + 12 (y)$ 中分解出因数 $12$ 。

$y' = \frac{12 (- 6 x + y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{12 (- (6 x) + y)}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{12 (- (6 x) - 1 (- y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.5

从 $- (6 x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{12 (- (6 x - y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.6

将 $- (6 x - y)$ 重写为 $- 1 (6 x - y)$ 。

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 12 x + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.7

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x) + 2 y - 5}$

解题步骤 5.3.3.8

从 $2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x) - (- 2 y) - 5}$

解题步骤 5.3.3.9

从 $- (12 x) - (- 2 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y) - 5}$

解题步骤 5.3.3.10

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y) - 1 (5)}$

解题步骤 5.3.3.11

从 $- (12 x - 2 y) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- (12 x - 2 y + 5)}$

解题步骤 5.3.3.12

将 $- (12 x - 2 y + 5)$ 重写为 $- 1 (12 x - 2 y + 5)$ 。

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 1 (12 x - 2 y + 5)}$

解题步骤 5.3.3.13

约去公因数。

$y' = \frac{12 (- 1 (6 x - y))}{- 1 (12 x - 2 y + 5)}$

解题步骤 5.3.3.14

重写表达式。

$y' = \frac{12 (6 x - y)}{12 x - 2 y + 5}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 (6 x - y)}{12 x - 2 y + 5}$

微积分学 示例

微积分学示例