微积分学示例

$y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4} = 27$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}) = \frac{d}{d x} (27)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y^{3} + x^{2} y^{5} - x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{5}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{5}$ 。

$3 y^{2} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$3 y^{2} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y^{2} y' + x^{2} (5 y^{4} y') + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.3.5

将 $5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$3 y^{2} y' + 5 \cdot x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 移到 $y^{5}$ 的左侧。

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - (4 x^{3})$

解题步骤 2.4.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y^{2} y' + 5 x^{2} y^{4} y' + 2 y^{5} x - 4 x^{3}$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

解题步骤 3

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 4 x^{3} + 3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $4 x^{3}$ 。

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x = 4 x^{3}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $2 y^{5} x$ 。

$3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

解题步骤 5.2

从 $3 y^{2} y' + 5 y^{4} x^{2} y'$ 中分解出因数 $y^{2} y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $y^{2} y'$ 。

$y^{2} y' \cdot 3 + 5 y^{4} x^{2} y' = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

解题步骤 5.2.2

从 $5 y^{4} x^{2} y'$ 中分解出因数 $y^{2} y'$ 。

$y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

解题步骤 5.2.3

从 $y^{2} y' \cdot 3 + y^{2} y' (5 y^{2} x^{2})$ 中分解出因数 $y^{2} y'$ 。

$y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$

解题步骤 5.3

将 $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ 中的每一项除以 $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2}) = 4 x^{3} - 2 y^{5} x$ 中的每一项都除以 $y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})$ 。

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $3 + 5 y^{2} x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (3 + 5 y^{2} x^{2})}{3 + 5 y^{2} x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{5} x}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $y^{5}$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 2 y^{5} x$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{y^{2} (- 2 y^{3} x)}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $\frac{2 y^{3} x}{3 + 5 y^{2} x^{2}}$ 乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3.2

重新排序 $(3 + 5 y^{2} x^{2}) y^{2}$ 的因式。

$y' = \frac{4 x^{3}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})} - \frac{2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.5.1

从 $4 x^{3} - 2 y^{3} x y^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) - 2 y^{3} x y^{2}}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.5.1.2

从 $- 2 y^{3} x y^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$y' = \frac{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.5.1.3

从 $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- y^{3} y^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{3} y^{2})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.5.2

通过指数相加将 $y^{3}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.2.1

移动 $y^{2}$ 。

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - (y^{2} y^{3}))}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{2 + 3})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 5.3.3.5.2.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (2 x^{2} - y^{5})}{y^{2} (3 + 5 y^{2} x^{2})}$

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