微积分学示例

$\sqrt{x^{4} + y^{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{4} + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 x + 2 y^{3})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{4} + y^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{4} + y^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{4} + y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.6.2

合并分数。

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解题步骤 3.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.6.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

解题步骤 3.6.3

根据加法法则， $x^{4} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 3.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.7.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.8

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$

解题步骤 3.9

化简。

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解题步骤 3.9.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$ 的因式。

$(4 x^{3} + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.2

将 $4 x^{3} + 2 y y'$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{4 x^{3} + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.3

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.4

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.5

从 $2 (2 x^{3}) + 2 (y y')$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.6

约去公因数。

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解题步骤 3.9.6.1

从 $2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 3.9.6.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.9.6.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $5 x + 2 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 4.2.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$5 + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$5 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$5 + 2 (3 y^{2} y')$

解题步骤 4.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$5 + 6 y^{2} y'$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$6 y^{2} y' + 5$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 6 y^{2} y' + 5$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

两边同时乘以 ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 $\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

约去 ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2

重写表达式。

$2 x^{3} + y y' = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.1.1.2

将 $y$ 和 $y'$ 重新排序。

$2 x^{3} + y' y = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 $(6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

运用分配律。

$2 x^{3} + y' y = 6 y^{2} y' {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

移动 $y^{2}$ 。

$2 x^{3} + y' y = 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x^{3} + y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2

从等式两边同时减去 $2 x^{3}$ 。

$y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

解题步骤 6.3.3

从 $y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y' y$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $y' y$ 中分解出因数 $y' y$ 。

$y' y \cdot 1 - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

解题步骤 6.3.3.2

从 $- 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y' y$ 。

$y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

解题步骤 6.3.3.3

从 $y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y' y$ 。

$y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

解题步骤 6.3.4

将 $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ 中的每一项除以 $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 并化简。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ 中的每一项都除以 $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.3.4.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.4.2.3

约去公因数。

解题步骤 6.3.4.2.4

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 6.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

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